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六年級(jí)奧數(shù)課堂:數(shù)論的方法技巧之一

2011-10-20 11:26:53      下載試卷

六年級(jí)奧數(shù)課堂:數(shù)論的方法技巧之一

  數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支,它歷史悠久,而且有著強(qiáng)大的生命力。數(shù)論問(wèn)題敘述簡(jiǎn)明,“很多數(shù)論問(wèn)題可以從經(jīng)驗(yàn)中歸納出來(lái),并且僅用三言?xún)烧Z(yǔ)就能向一個(gè)行外人解釋清楚,但要證明它卻遠(yuǎn)非易事”。因而有人說(shuō):“用以發(fā)現(xiàn)天才,在初等數(shù)學(xué)中再也沒(méi)有比數(shù)論更好的課程了。任何學(xué)生,如能把當(dāng)今任何一本數(shù)論教材中的習(xí)題做出,就應(yīng)當(dāng)受到鼓勵(lì),并勸他將來(lái)從事數(shù)學(xué)方面的工作。”所以在國(guó)內(nèi)外各級(jí)各類(lèi)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,數(shù)論問(wèn)題總是占有相當(dāng)大的比重。

  小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)論問(wèn)題,常常涉及整數(shù)的整除性、帶余除法、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、約數(shù)與倍數(shù)、整數(shù)的分解與分拆。主要的結(jié)論有:

  1.帶余除法:若ab是兩個(gè)整數(shù),b0,則存在兩個(gè)整數(shù)q,r,使得

  a=bq+r0rb),

  且q,r是唯一的。

  特別地,如果r=0,那么a=bq。這時(shí),ab整除,記作b|a,也稱(chēng)ba的約數(shù),ab的倍數(shù)。

  2.若a|c,b|c,且ab互質(zhì),則ab|c

  3.唯一分解定理:每一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積,即

 

  其中p1p2<…<pk為質(zhì)數(shù),a1,a2,…,ak為自然數(shù),并且這種表示是唯一的。(1)式稱(chēng)為n的質(zhì)因數(shù)分解或標(biāo)準(zhǔn)分解。

  4.約數(shù)個(gè)數(shù)定理:設(shè)n的標(biāo)準(zhǔn)分解式為(1),則它的正約數(shù)個(gè)數(shù)為:

  dn=a1+1)(a2+1)…(ak+1)。

  5.整數(shù)集的離散性:nn+1之間不再有其他整數(shù)。因此,不等式xyxy-1是等價(jià)的。

  下面,我們將按解數(shù)論題的方法技巧來(lái)分類(lèi)講解。

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