一次數學競賽，準備了35支鉛筆作為獎品發給獲得一、二、三等獎的同學。原打算發給每個獲一等獎的人6支鉛筆，發給每個獲二等獎的人3支鉛筆，發給每個獲三等獎的人2支鉛筆。后來改為發給每個獲一等獎的人13支鉛筆，發給每個獲二等獎的人4支鉛筆，發給每個獲三等獎的人1支鉛筆。那么，在這次數學競賽中獲得一、二、三等獎的各有多少人？
分析與解 由題意可以知道，這次數學競賽獲得一、二、三等獎的人數總和前后是不變的。盡管改變了發獎辦法，但是獎品總數還是35支鉛筆。
根據“后來發給每個獲一等獎的人13支鉛筆”可以得出，獲一等獎的只能是2人或者是1人，要是3人，那么35支鉛筆只發給獲一等獎的都不夠。
假設獲一等獎的是2人，按改變后的發獎方案，這2人共得到26支鉛筆，還剩下35-26=9支鉛筆，發給獲二、三等獎的同學。假設獲二等獎的也是2人，每人發4支鉛筆后還剩9-4×2=1支鉛筆，那么這1支鉛筆只能發給獲三等獎的1人。
用原來的發獎方案驗算一下，獲一等獎的有2人，要發給12支鉛筆，獲二等獎的有2人，要發給6支鉛筆，這時還剩下35—12—6=17支鉛筆。獲三等獎的有1人，每人要發2支鉛筆，這樣就會剩下15支鉛筆。顯然，獲一等獎的不是2人，獲二等獎的也不是2人，獲三等獎的更不是1人了。
假設獲二等獎的是1人，這樣還剩下9—4=5支鉛筆發給獲三等獎的同學，那么獲三等獎的就是5人。這樣按原方案發獎后還要剩下35—6×2—3—2×5=10支鉛筆。由此可見，獲一等獎的不可能是2人。
既然獲一等獎的不是2人，那么獲一等獎的肯定是1人了。按照后來的發獎方案發給獲一等獎的1人13支鉛筆后，還剩下35-13=22支鉛筆，要發給獲得二、三等獎的同學，這樣可以算出獲二、三等獎的人數如下表。
再用原定的發獎方案驗證一下，獲一等獎的有1人，這樣還剩下35—6=29支鉛筆，要發給獲得二、三等獎的同學。按照上表獲得二等獎的人數，看看獲得三等獎的有幾人。結果如下表。
比較上面兩表就可得出，獲得二等獎的有3人，獲得三等獎的有10人。
答：在這次數學競賽中，獲一等獎的有1人，獲二等獎的有3人，獲三等獎的有10人。
